" المسابقة الرياضية الكبرى " - الصفحة 15

Weierstrass-Casorati · #**141** 26-07-2010, 15:01

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة دقدقه

مهند مسافر الحين ادعو له العودة بسلامة

الله يوفقه ويرجعه بالسلامة

Weierstrass-Casorati · #**142** 26-07-2010, 17:34

طييييييب دام مهند مو هنا معناه ان الأسئلة تاخذ وقت أكبر مشان حلول تانية

وهو اللي جايب متباينة تدوووووخ
بس جيبت الحل كنت متاكد إنها لها حل بـ AM-GM
لكن للأمانة استاذي عطاني مساعدة يعني الحل مو كامل لإلي

باستخدام AM-GM
$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

$\frac{1}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

بتكعيب الطرفين
$abc\leq \frac{1}{27}$

من Titu's Lemma
$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}$
$=\frac{a^2}{a+abc}+\frac{b^2}{b+abc}+\frac{c^2}{1+abc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)+3abc}$
$\Rightarrow \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq \frac{1}{1+3abc}$

ولكن(هاد قالها الاستاذ وما كنت عارف أوصل تيتو لـ AM-GM من غيرها

)
$abc\leq \frac{1}{27}\Leftrightarrow 3abc\leq \frac{1}{9}$

بإضافة 1 إلى الطرفين
$1+3abc\leq \frac{10}{9}$
$\frac{1}{1+3abc}\geq \frac{9}{10}$

وبالتالي
$\150dpi \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq \frac{9}{10}$

Weierstrass-Casorati · #**143** 29-07-2010, 14:49

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

وهناك حل يعتمد على استخدام التطابقات مود 4 لكن لا ادري هل لك خلفية عنها أم لا ؟

بحثت عنه ع ويكيبيديا وذاكرته لكن يا ليت ترجع تشرحه إلنا هون

محاولة
$5\equiv 1(mod\, 4)$
$5^n\equiv 1^n(mod\, 4)$
$5^n+3\equiv 1+3(mod\, 4)$
$5^n+3\equiv 4(mod\, 4)\equiv 0(mod\, 4)$
ما اعرف الخطوة الأخيرة هيك صحيحة؟

Weierstrass-Casorati · #**144** 31-07-2010, 18:32

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

- أثبت بثلاث طرق مختلفة ليس من بينها الاستقراء الرياضي أن

$\150dpi 1+2+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$

بالتعويض المباشر في صيغة faulhaber

$\sum_{k=1}^{n}k^p = \frac{1}{p+1}\sum_{j=0}^{p}(-1)^j\binom{p+1}{j}B_j \, n^{p+1-j}$

حيث $B_0 = 1\: , B_1 =\frac{1}{2}$

بالتعويض عن $p=1$

$\sum_{k=1}^{n}k =\frac{1}{2}\times1\times \binom{2}{0}\times1\times n^2 +\frac{1}{2}\times (-1)\times \binom{2}{1}\times \frac{1}{2}\times n$

$1+2+3+....+n=\frac{n^2 }{2} -\frac{n}{2} =\frac{n(n-1)}{2}$

Weierstrass-Casorati · #**145** 01-08-2010, 00:02

متأسف ع الخطأ في مشاركتي

والصحيح
$\sum_{k=1}^{n}k^p = \frac{1}{p+1}\sum_{j=0}^{p}(-1)^j\binom{p+1}{j}B_j \, n^{p+1-j}$

حيث $B_0 = 1\: , B_1 =\frac{-1}{2}$

بالتعويض عن $p=1$

$\sum_{k=1}^{n}k =\frac{1}{2}\times1\times \binom{2}{0}\times1\times n^2 -\frac{1}{2}\times (-1)\times \binom{2}{1}\times \frac{1}{2}\times n$

$1+2+3+....+n=\frac{n^2 }{2} +\frac{n}{2} =\frac{n(n+1)}{2}$

Weierstrass-Casorati · #**146** 02-08-2010, 22:37

محاولة في سؤال الجبر

$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &y^2 = x^2 + x -1\\ & y = \pm \sqrt{x^2 + x -1} \:\:\:\:(1) \end{array}$

$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &x(x+1)=y^2 +1\\ &x^2 +x=y^2 +1\\ &4x^2 + 4x = 4y^2 +4 \end{array}$

بإكمال مربع

$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &4x^2 + 4x+1 = 4y^2 +5\\ &(2x +1)^2 - 4y^2 = 5 \\ &(2x +1)^2 - (2y)^2 = 5 \\ \end{array}$

الطرف الأيسر فرق بين مربعين والايمن عدد أولي

$\120dpi \large (2x+2y+1)(2x-2y+1)=5$

فيكون هناك اربع احتمالات
الأول
$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &(2x+2y+1)=5\\ &(2x-2y+1)=1\\ &\Rightarrow 4x+2=6\Rightarrow 4x=4\Rightarrow x=1\\ &from\: (1)\\ & y = \pm1\\ \end{array}$

والثاني
$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &(2x+2y+1)=-5\\ &(2x-2y+1)=-1\\ &\Rightarrow 4x+2=-6\Rightarrow 4x=-8\Rightarrow x=-2\\ & y = \pm1\\ \end{array}$

والاحتمالين الثالث والرابع يعطيان نفس الحلول
$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &(2x+2y+1)=1\\ &(2x-2y+1)=5\\ &\Rightarrow x=1\Rightarrow y = \pm1\\ &(2x+2y+1)=-1\\ &(2x-2y+1)=-5\\ &\Rightarrow x=-2\Rightarrow y = \pm1\\ \end{array}$

فتكون الازواج المرتبة الصحيحة التي تحقق المعادلة هي
$\120dpi \large (1,1),(1,-1),(-2,1)(2,-1)$

مهند الزهراني · #**147** 05-08-2010, 13:34

السلام عليكم ...

عودة بعد غياب عن منتداي الغالي ....

لفيت سريع على الردود وما ركزت الا على حل سؤال المتباينة وهو الحل الأخير وهو الأصح من وجهة نظري...

والباقي لي عوة باذنه عزوجل ....

دمتم بخير ...

الهَياء · #**148** 05-08-2010, 15:30

عوداً حميداً
أ/ مُهند ..

فرووحة · #**149** 05-08-2010, 16:00

أهلاً وسهلاً بك مهند ,, أنرتنا بعودتكــ ,, ولكن عندي طلب ممكن تسهل الأسئلة شوية خاصة هذي المتباينات صعبة مرررررررة ^^ ,, ولكـ خالص تقديري

مهند الزهراني · #**150** 13-08-2010, 15:26

نعود باذن الله لمتابعة الموضوع بمسألة خفيفة للتنشيط ....

هل العدد التالي زوجي أم فردي ؟

$\150dpi \frac{11^{100}-7^{100}}{11^4-7^4}$

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !