" المسابقة الرياضية الكبرى "

Weierstrass-Casorati · #1 20-07-2010, 14:58

ما شاء الله عليك يا مهند
والله أنا حاسس حالي زي النملة قدامك

أنا السنة الماضية صرت ما أعرف أحسب أي شي من غير الآلة الحاسبة
الله لا يوريك، حتى مسائل كرامر في المحددات كنت أعملها على الآلة الحاسبة
المهم
شكرا ع المتباينة القميلة (احد أصحابي يقول قميل وانا استغرب عليه طلع مو هو لحاله بيقولها)
محاولتي
نفرض
$x\leq y\leq z \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \frac{1}{x}\geq \frac{1}{y}\geq \frac{1}{z}$

بتطبيق متباينة إعادة الترتيب على المتتابعتين $\left (\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} \right )$ و $\left (\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} \right )$

$\begin{array}{lcl} & \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2} \geq \frac{1}{xy}+\frac{1}{yx}\\ \\ & \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} \geq \frac{1}{yz}+\frac{1}{zy}\\ \\ & \frac{1}{z^2}+ \frac{1}{x^2} \geq \frac{1}{zx}+\frac{1}{xz}\\ \end{array}$

بالجمع

$\not{2} \left (\frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} \right )\geq \not{2}\left (\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )$

بتوحيد المقام في الطرف الأيمن

$\frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} \geq \frac{x+y+z}{xyz}$

بضرب الطرفين في $xyz$

$\150dpi \frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\geq x+y+z$

نقوم بحل المسألة مرة جالسين ومرة واقفين فنكون حليناها بطريقتين مختلفتين

مهند الزهراني · #2 20-07-2010, 16:03

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Weierstrass-Casorati

ما شاء الله عليك يا مهند
والله أنا حاسس حالي زي النملة قدامك

أنا السنة الماضية صرت ما أعرف أحسب أي شي من غير الآلة الحاسبة
الله لا يوريك، حتى مسائل كرامر في المحددات كنت أعملها على الآلة الحاسبة
المهم
شكرا ع المتباينة القميلة (احد أصحابي يقول قميل وانا استغرب عليه طلع مو هو لحاله بيقولها)
محاولتي
نفرض
$x\leq y\leq z \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \frac{1}{x}\geq \frac{1}{y}\geq \frac{1}{z}$

بتطبيق متباينة إعادة الترتيب على المتتابعتين $\left (\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} \right )$ و $\left (\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} \right )$

$\begin{array}{lcl} & \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2} \geq \frac{1}{xy}+\frac{1}{yx}\\ \\ & \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} \geq \frac{1}{yz}+\frac{1}{zy}\\ \\ & \frac{1}{z^2}+ \frac{1}{x^2} \geq \frac{1}{zx}+\frac{1}{xz}\\ \end{array}$

بالجمع

$\not{2} \left (\frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} \right )\geq \not{2}\left (\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )$

بتوحيد المقام في الطرف الأيمن

$\frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} \geq \frac{x+y+z}{xyz}$

بضرب الطرفين في $xyz$

$\150dpi \frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\geq x+y+z$

نقوم بحل المسألة مرة جالسين ومرة واقفين فنكون حليناها بطريقتين مختلفتين

راااااائع جدا

وعلى فكرة فكرة حلي للمسألة اقتصرت على متباينة AM-GM وكذلك كوشي - بنجاكوفسكي - شوارتز

حاول تحل بالاثنين وأنا أنتظرك ...

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !